caso de operativa

Empresa de Pollos Sofía

Nuestra Empresa

Avícola Sofía en su constante búsqueda de la calidad, en el año 2006 obtiene la certificación de la Norma ISO 9001:2000 Sistema de Gestión de Calidad y en el año 2007 se constituye en la primera empresa avícola en certificar ISO 22000: 2005 Sistema de Gestión de Inocuidad Alimentaria.

La norma ISO 22000: 2005 establece los requisitos a cumplir por la organización que opera dentro de la cadena de suministro, con el fin de ofrecer un producto que no cause daño al consumidor, dentro los muchos requisitos que se deben cumplir para su implementación, están:

            Principios a desarrollar del Sistema HACCP (Análisis de Peligros y Puntos Críticos de Control)

            Las Buenas Prácticas de Manufactura para cumplir con los Programas de Pre-requisitos.

Sofía les dá la Bienvenida

En nombre de la familia Sofía, le damos la más cordial bienvenida a nuestra página web, en la cual esperamos que encuentren toda la información que necesitan acerca de nosotros.

El principal objetivo de este medio de comunicación, es dar a conocer nuestra empresa, comunicar lo que somos y hacemos, así como los valores y las políticas que manejamos. Usted podrá encontrar aquí de una manera ágil y directa, una amplia descripción de nuestros productos y procesos así como las diversas filosofías de calidad bajo las cuales trabajamos en las áreas calidad, inocuidad, seguridad ocupacional y medio ambiente.

Esperamos poder cumplir con sus expectativas de calidad y satisfacción, ya que es nuestra verdadera filosofía de trabajo.

Historia

Granja Avícola Integral Sofia Ltda. inicia su actividad desde 1976, posteriormente dentro de un proceso de crecimiento y desarrollo a partir de 1986, afronta nuevos desafíos, contando con 3 fábricas de alimentos Balanceados, además del faeneo de aves y cerdos y sus Plantas de Embutidos y Congelados. Afrontando nuevos desafíos, el 28 de agosto de 2006 logró la certificación ISO 9001:2000 y BPM (Buenas Prácticas de Manufactura), y el 25 de noviembre de 2007 la certificación ISO 22000.

Nuestra Visión

Crecemos contigo cada día creando las mejores opciones de alimentos sanos y nutritivos. En sofía, se confía.

                        Nuestra Misión

Mejoramos la calidad de vida de nuestros consumidores generando conciencia sobre la alimentación saludable, a tráves de la educación y la creación de productos innovadores.

             

Politicas del SIG

POLITICA DEL SISTEMA INTEGRADO DE GESTION DE CALIDAD E INOCUIDAD ALIMENTARIA

            Producimos alimentos nutritivos, procesados y comercializados con calidad e inocuidad.

            Promovemos constantemente el diseño y desarrollo de productos.

            Aportamos mayor valor a nuestros clientes.

            Promovemos el trabajo en equipo.

            Capacitamos y cuidamos a nuestro personal en forma permanente.

            Estamos comprometidos en la mejora continua.

            Utilizamos tecnología moderna.

            Controlamos la calidad e inocuidad de nuestros procesos y productos.

            Trabajamos con responsabilidad social: En armonía con el medio ambiente y la comunidad.

            Cumplimos las normas, reglamentos y requisitos de nuestro Sistema Integrado de Gestión.

                        Nuestros Valores

            Seriedad y Responsabilidad en la provisión de nuestros productos

            Ética Profesional

            Cumplimiento de nuestros compromisos

            Confianza

            Honestidad y Transparencia 

            Lealtad y Respeto

            Trabajo en equipo

            Solidaridad

            Preservamos el Medio Ambiente

           

Nuestra Gente

 Nuestra empresa cuenta con personal ejecutivos, técnicos, administrativos y operativos desempeñándose en diferentes áreas y actividades técnicas, productivas, administrativas y comerciales. Estos profesionales continuamente se encuentran capacitados por nuestra política de capacitaciones continuas, cuidamos a nuestro personal de forma permanente.

Avícola Sofía Ltda. cuenta con más de 1200 empleados entre ejecutivos, técnicos, administrativos y operarios. Se estima que provee trabajo directo a unas 6.000 personas, ya que a nuestra actividad se vinculan agricultores, proveedores de insumos, empresas de transporte, distribuidores, etc.

Cuenta con profesionales altamente capacitados y experimentados en las diversas áreas y actividades técnicas, productivas administrativas y comerciales que se desarrollan en la empresa, con vasta experiencia en el rubro, el mismo que es permanentemente capacitado..

El Plantel Ejecutivo, es liderado por el Lic. Mario Anglarill como Presidente Ejecutivo, y está conformado de la siguiente manera:

 

            Inicio  Instalaciones

Laboratorio de Control de Calidad

 Avícola Sofía cuenta con un Laboratorio de Control de Calidad, cuya rigurosa inspección ha  contribuido a lograr productos de alta calidad, permitiendo la certificación de inocuidad alimentaría que otorga el Servicio Nacional de Sanidad Agropecuaria e Inocuidad Alimentaría y convirtiendo al matadero de Sofía en el primer matadero de aves certificado por dicho ente en Bolivia.

 

Frigorífico de cerdos

 El 5 de febrero se realizó la inauguración del nuevo frigorífico de cerdos de Sofía, el evento tuvo lugar en las nuevas instalaciones. Acompañaron el evento autoridades locales, instituciones empresariales, clientes y amigos de la empresa.

           

Planta de Proceso Ulterior y Embutidos

 Desde comienzos del año 2000, Avícola Sofía ha incursionado en la elaboración de productos con valor agregado, cuya producción ha tenido un crecimiento sostenido y permanente, permitiendo el desarrollo de nuevas líneas de productos y posicionándolos de manera exitosa en el mercado nacional.

Toda la producción es supervisada y controlada por profesionales y operarios altamente capacitados.

Actualmente la planta se encuentra proyectando su línea de congelados con productos nuevos como hamburguesas y nuggets

           

Planta de Subproductos

 En el marco de las normas legales establecidas para la preservación del medio ambiente, se ha instalado una moderna planta de recuperación de los residuos provenientes del faeneo de pollos y su transformación en harinas de alto contenido proteico y aceites de aves, utilizados en la elaboración de alimentos balanceados.

           

Matadero

 El matadero  de aves, ubicado en el Parque Industrial, está equipado con tecnología de punta, permitiendo que todo el proceso se realice sin romper la cadena de frío y selección automática del peso, satisfaciendo el exigente mercado boliviano. El riguroso control en su proceso de faena es aprobado por normas internacionales de calidad, tales como ISO 9001:2000 y Buenas Prácticas de Manufactura.

           

Inicio  Instalaciones

Fabrica de Alimentos balanceados

 Avícola Sofía cuenta con cuatro centros de acopio de granos, con una capacidad estática de 51.000 toneladas, una fábrica de harina de soya integral para 3.800 toneladas por mes y tres fábricas de alimento balanceado que producen 15.000 toneladas mensuales: una de ellas destinada en forma exclusiva a elaborar alimentos balanceados para los planteles de reproducción, y las otras dos para pollos de engorde, cerdos y ganado bovino, evitando de esta manera riesgos de contaminación.

Las fábricas producen alimentos balanceado en pellets y harina. Toda la distribución se realiza a través de camiones graneleros.

CASO DE PRÁCTICA

USTED HACE LA LLAMADA

1. ¿que limita las técnicas de solución de base geométrica?

R.- El método geométrico es un método de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).

Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución  y que puede identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos). 

2. ¿Cuál es la diferencia básica entre el método simplex y el método karmakar?   

R.- En que el método simplex visita una fracción muy pequeña de los puntos extremos del conjunto factible de soluciones y que es un método eficiente para resolver problemas de programación lineal.

El método Karmakar a diferencia del método simplex en vez de iniciar en un punto extremo este corta atreves de la región factible y es bueno para resolver problemas de programación lineal estructurada.

MÁS ALLA DEL CASO

1.    Del capítulo 3. Sobre aplicaciones de los modelos de programación lineal, identifique un problema de tarea que muestre porque se requiere el método simplex para su solución.

La empresa el KRIS Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.

PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL

Las variables:

 

X₁ = Cantidad de mesas a producir (unidades)

X₂ = Cantidad de sillas a producir (unidades)

X₃ = Cantidad de camas a producir (unidades)

X₄ = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)

 

Las restricciones:

 

2X₁ + 1X₂ + 1X₃ + 2X₄ <= 24               

2X₁ + 2X₂ + 1X₃ <= 20                     

2X₃ + 2X₄ <= 20                            

4X₄ <= 16                          

 

La función Objetivo:

 

Z_MAX = 20000X₁ + 20000X₂ + 20000X₃ + 20000X₄

PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES

En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=".

 

2X₁ + 1X₂ + 1X₃ + 2X₄ + 1S₁ + 0S₂ + 0S₃ + 0S₄ = 24               

2X₁ + 2X₂ + 1X₃ + 0X₄ + 0S₁ + 1S₂ + 0S₃ + 0S₄ = 20                             

0X₁ + 0X₂ + 2X₃ + 2X₄ + 0S₁ + 0S₂ + 1S₃ + 0S₄ = 20

0X₁ + 0X₂ + 0X₃ + 4X₄ + 0S₁ + 0S₂ + 0S₃ + 1S₄ = 16

 

De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1.

 

La función objetivo no sufre variaciones:

 

Z_MAX = 20000X₁ + 20000X₂ + 20000X₃ + 20000X₄

PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL

El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.

 

1S₁ = 24               

1S₂  = 20                              

1S₃ = 20

1S₄  = 16

PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones.

2. Describa con palabras un problema de asignación de recursos que su universidad o escuela pueda enfrentar al coordinar salones, estudiantes, profesores. ¿Puede el método simplex resolver este problema?

R.- x1=salones

      X2= estudiantes

      X3= profesores

Si se puede resolver este problema porque si se puede maximizar y sacar sus funciones objetivos y restricciones para el problema de asignaciones

CONSIDERASIONES PRÁCTICAS

1.    Un método práctico para el método simplex consiste en que si el tamaño del problema (n variables por m restricciones) se incrementa por un factor de p, el tiempo de solución se incrementa por un factor p2. Considere un problema de programación lineal con 1000 variables y 200 restricciones que solo toma 2 segundos de resolución. ¿Cuánto tardaría solucionar un problema similar con 300000 variables y 5000 restricciones?

R.- 600 segundos y 10 horas

2.    Existen muchas versiones del método simplex. Un sin número de programas ofrecen distintos “colores y sabores” para los programas del método simplex escritos para computadoras centrales y computadoras personales. Revise alguna copia actual de OR/MS today y verifique los anuncios de las distintas versiones. ¿Qué diferencias y similitudes encuentra entre los programas? ¿cuál es el intervalo de precios de estos programas?

R.-En el algoritmo del Símplex, se parte de un programa base que estará formado por vectores unitarios (vector proceso unitario), realizando iteraciones sucesivas, de manera que en cada uno de ellos, la matriz de coeficientes asociada al programa base sea una matriz identidad.

Los pasos a seguir en el algoritmo del Símplex son:

1. Convertir desigualdades en igualdades, introduciendo para ello variables de holgura, que serán positivas en restricciones menores o iguales, y negativas en restricciones mayores o iguales.

2. Obtener el programa base: Esta es la pregunta inicial de la cual partimos para determinar la solución. Para encontrar el programa base, tomaremos un vector unitario de cada una de las restricciones del problema, de acuerdo con el siguiente esquema:

2.1. Escoger aquellas variables de holgura con el mismo signo que el término independiente y coeficiente unitario.

2.2. En su defecto, escoger aquellas variables Xi que aparezca en una única restricción, y tenga el mismo signo que el término independiente. Esta variable deberá tener coeficiente unitario.

2.3. En su defecto, introduciremos en aquellas restricciones de las cuales no hemos tocado aún, un vector unitario una variable artificial Kj afectada de un rendimiento –N si estamos maximizando, o de un rendimiento +N si estamos minimizando, y que tendrá un coeficiente unitario.

El método Simplex básico

El método Simplex, introducido en su forma original por Spendley; Hext y Himsworth, en 1962, no se basa en planeamientos factoriales y por eso requiere pocos experimentos para moverse, desplazándose en la dirección del óptimo. La aplicación del método Simplex en Química Analítica fue efectuada por la primera vez en 1969. El método Simplex original, a lo largo de estos años, há sufrido modificaciones que obligaron a la distinción del mismo dentro de las estrategias de optimización, así el método Simplex original pasó a ser llamado de Método Simplex Básico (MSB).

El procedimiento de optimización, en el método Simplex, comienza por la elección de la n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta. Este resultado será evaluado contra las demás respuestas para que el proceso pueda continuar, siendo que este tipo de desarrollo convierte al simplex en un método del tipo secuencial.

El procedimiento es repetido sucesivamente, descartándose la peor respuesta. Por lo tanto, como vemos, el objetivo del método Simplex secuencial es forzar al simplex a moverse para la región de respuesta óptima.

Las decisiones requeridas para que eso sea posible constituyen las llamadas "reglas" del procedimiento simplex.

REGLAS PARA EL MOVIMIENTO DEL SIMPLEX BÁSICO

Regla nº 1: Después de determinar las respuestas de los n+1 experimentos necesarios para iniciar el proceso, con base en el conocimiento ya adquirido sobre el sistema, se debe clasificarlas en mejor [B (the Best)], peor [W (the Worst)] y resultados intermediarios [N (Next to worst)], según el objetivo de la optimización.

Regla nº 2: El simplex es movido para un simplex adyacente, el cuál es determinado descartando la respuesta menos deseada. El vértice correspondiente a esta respuesta es sustituido por un nuevo vértice, generado por su reflexión a través del centroide de la hiperfase de los vértices restantes.

Matematicamente, sí los vértices de un simplex k-dimensional son representados por coordenadas vectoriales P1, P2, ...., Pj, ....Pk, .... Pk+1, la eliminación de la respuesta no deseada Pj resulta en la hiperfase formada por P1, P2, ...., Pj-1, Pj+1, ....Pk, .... Pk+1 con el centroide definido por:

Pc = 1/k (P1 + P2 + .... + Pj-1 + Pj+1 + .... + Pk + Pk+1)

Pc = centroide de la hiperfase K = número de dimensiones del simplexPj = vértice correspondiente a la peor respuesta.

El nuevo simplex es definido por esta fase y un nuevo vértice, P, que corresponde a la reflexión del vértice rechazado Pj, a través de la fase por el centroide Pc.

P = Pc + (Pc - Pj)

Regla nº 3: Sí el punto reflejado, P, tuviera la peor respuesta en el nuevo simplex, probablemente el desplazamiento no está sucediendo en dirección al óptimo. En este caso, se debe rechazar la 2ª peor respuesta de este simplex y continuar con la optimización.

Esta regla es necesaria, pues el simplex puede estar encima de una cresta y la aplicación directa de la Regla no 2 puede hacer con que el punto P sea reflejado de vuelta al punto anterior. En este caso el simplex oscila y se vuelve sin recurso (decimos, que se mantiene parado).

Esta situación sucede con frecuencia en la región del óptimo. Sí un punto es obtenido cercano a él, todos los otros nuevos puntos tienden a pasar más allá del tope de la curva de respuesta. Entonces, un cambio en la dirección es indicado. En la región del óptimo, normalmente ocurre el simplex circular en vuelta de un óptimo temporáneo. Como se puede tratar de un resultado falso, el cual hace, con que el simplex se prenda a él, es necesario la siguiente excepción adicional a la Regla no 1.

Regla nº 4: Sí un vértice fuera mantenido en k+1 simplex, antes de aplicar la Regla no 2, haga una nueva observación del vértice persistente. Sí el vértice está realmente cercano al óptimo, es probable que la evaluación repetida de la respuesta sea consistente y de esta forma el punto será mantenido. Sí la respuesta en el vértice fuera alta por causa de un error de observación, es improbable que con la nueva evaluación eso ocurra y por lo tanto, el vértice será consecuentemente eliminado.

Regla nº 5: Sí el nuevo vértice encontrarse fuera de los límites aceptables de las variables optimizadas, no se deben realizar observaciones experimentales con estos valores, al contrario se debe atribuir a este la respuesta más indeseable.

La aplicación posterior de las Reglas nos 2 e 3 obligará al simplex a regresar dentro de los límites permitidos y este continuará buscando por la respuesta óptima. Cuando un óptimo es localizado, las reglas del simplex lo fuerzan a circular.

Localización y tamaño del simplex inicial

En la etapa inicial de los experimentos, es recomendable construir un simplex grande para que por sí mismo se mueva rápidamente sobre la superficie de respuestas y pueda localizar la región del óptimo. Para definir más precisamente el óptimo, se construye un simplex menor y se continúa la optimización. En el caso que sea necesario, es posible repetir el proceso, dejando el simplex cada vez más pequeño. Está claro que existe una limitación para el tamaño del simplex, pues, sí este fuera muy pequeño, los errores experimentales pueden enmascarar los verdaderos efectos sobre la respuesta y hacer con que el simplex se traslade irregularmente dentro de un área cercana al óptimo.

Para definición del primer simplex se debe establecer las variables que estarán sujetas a la optimización. Después, se define el tamaño del paso () de cada variable del simplex. Con el auxilio de la Tabla 1, se puede construir el simplex inicial hasta con 7 (siete) factores.

Tabla 1: Valores para el tamaño del paso hasta para 10 factores

Ejemplo: Optimización de las condiciones de funcionamiento de un cromatógrafo para un determinado análisis.

Variables:1- Temperatura, ºC. 2- Velocidad de flujo del gas de arrastre, mL/min. 3- Longitud de la columna, cm.

Valores iniciales:Temperatura, T = 20 ºC. Velocidad de flujo del gas de arrastre, V = 40 mL/min. Longitud de la columna, C = 200 cm.

Pasos de las Variables (Step size, SS):Temperatura => SSt = 10 ºC. Velocidad del flujo del gas de arrastre => SSv = 5 mL/min. Longitud de la columna => SSc = 20 cm.

Los vértices nuevos son obtenidos sumándose al punto inicial el paso de cada variable multiplicado por el factor correspondiente de la Tabla 1. Los experimentos previstos para este ejemplo están relacionados en la Tabla 2.

Tabla 2: Determinación de los vértices del simplex inicial

Consideraciones Generales

El método Simplex no requiere el uso de test estadísticos de significancia por dos razones:

a) sí las diferencias en las respuestas son grandes al ser comparadas con el error experimental, el simplex se mueve en la dirección correcta.

b) sí las diferencias son bastante pequeñas para ser afectadas por el error experimental, el simplex se mueve en la dirección equivocada. Incluso, un movimiento en la dirección equivocada provocaría una respuesta indeseable, que rápidamente produciría una corrección en la dirección tomada, a través de las Reglas nos 2 e 3, y el simplex aunque momentáneamente fuera de curso, volvería nuevamente en dirección al óptimo.

Se debe llevar en cuenta que el método Simplex no puede ser utilizado en la determinación de variables cualitativas, del tipo presencia o no de un determinado factor. La aplicación de este método también no es aconsejable caso las condiciones experimentales sean de difícil control u obtención, además que sólo es posible optimizar un factor por vez.

En particular, en el uso del método simplex básico, tres limitaciones son evidentes:

Primero: El óptimo solamente es localizado con precisión por casualidad.

Segundo: Un óptimo falso puede ser localizado.

Tercero: El progreso del simplex en dirección al óptimo solamente puede ser efectuado en una proporción constante.

Estos inconvenientes motivaron la modificación del método simplex básico, convirtiéndolo más eficiente en la búsqueda del óptimo, originando el método simplex modificado (MSM).

Método Simplex modificado

En 1965, Nelder y Mead, propusieron modificaciones en el procedimiento original de movimentación del simplex básico, que permitió obtener un punto óptimo estacionario con suficiente precisión y claridad, además de permitir un desarrollo mas rápido del simplex en dirección al óptimo, originando el denominado Método Simplex Modificado (MSM), donde pueden ser alterados el tamaño y la forma del simplex. Las reglas de movimiento del método Simplex básico son válidas y a estas fueron aumentadas, por Nelder y Mead, otras que caracterizan el MSM, volviéndolo probablemente el más aplicado en química.

Reglas para el movimiento del simplex modificado

Las reglas adicionales de movimiento del Método Simplex Modificado.

Andamiento del Método Simplex Modificado Considere el simplex inicial representado por B, N y W en la figura 8. Suponga que W es el vértice que dá la peor respuesta, B la mejor respuesta y N la segunda peor respuesta. Así, como en el método simplex básico, el primer movimiento del simplex modificado es la reflexión y los vértices para el movimiento del simplex pueden ser resumidos por la ecuación:

P = Pc + b (Pc - W)

P = vértice para el movimiento del simplex. Pc= centroide. W= vértice correspondiente a la peor respuesta.

b = coeficiente de movimiento del simplex.

En el método simplex básico, el único valor permitido para el andamiento del simplex es b = 1, correspondiente a la reflexión, generando el vértice R. Sin embargo, para el Método Simplex Modificado otros valores son permitidos y definidos después de cada observación de la respuesta en comparación con las respuestas obtenidas en los vértices originales representados por B, N y W.

Existen cuatro posibilidades con relación a la respuesta obtenida en R para ser consideradas, las cuáles generan las siguientes reglas de movimiento del simplex modificado.

Regla nº 1: Sí la respuesta en R fuera mejor que la respuesta en B, indica que el simplex está caminando en la dirección correcta. Se debe realizar una expansión del simplex inicial. Haciendo b = 2 se duplica el tamaño del simplex en la dirección deseada y se realiza el experimento en S. Sí la respuesta en S fuera mejor que las anteriores, el nuevo simplex será SBN.

Regla nº 2: Sí la respuesta en R fuera peor que en W, significa que el simplex además de no estar caminando en la dirección correcta, está con tamaño inadecuado. Se debe realizar una contracción con cambio en la dirección del simplex RNB, generando el vértice T, para el cual b = - ½. Sí la respuesta en T fuera mejor que en W, el nuevo simplex será BNT.

Regla nº 3: Sí la respuesta en R fuera peor que en N, pero mejor que en W, significa que el simplex está muy grande, pero en la dirección correcta. Se hace una observación en U (b = ½). Sí la respuesta en U fuera intermediaria entre B y N, el nuevo simplex será BUN, ósea, se hace una contracción.

Regla nº 4: Sí la respuesta en R fuera intermediaria entre B y N, estas operaciones no son recomendables y el nuevo simplex será BRN, procediéndose como en el caso del simplex básico.

Los movimientos del simplex modificado están resumidos en la Tabla 3. Los valores de b, correspondientes a la expansión y contracción del simplex pueden asumir valores diferentes de los relacionados en la tabla 3, pero en general estos son los más usados.

Tabla 3: Movimientos del simplex modificado

Cuando los recursos adicionales de movimiento del simplex (MSM) se muestren equívocos (principalmente la contracción), es decir, el simplex no se mueve, se recomienda una reducción del simplex, también llamada de Contracción Brusca. Es decir, se conserva el vértice B del simplex y se hacen nuevas observaciones para determinar los otros vértices nuevos N' y W', determinados de la siguiente forma:

N' = (B + N) / 2 y W' = (B + W) / 2

La idea, aunque efectiva, sufre dos desventajas. La primera, que requiere de la evaluación de los nuevos k vértices del simplex reducido para que el proceso de optimización pueda continuar (donde k es el número de factores del procedimiento en optimización). La segunda, es que el tamaño del simplex, cada vez que ocurre una contracción brusca, es reducido y esto puede resultar en la convergencia prematura del simplex en la presencia del error experimental.

Método Simplex súper modificado

Existe aún un algoritmo más sofisticado para la optimización utilizando el método simplex, el simplex súper modificado. En este método la forma y el tamaño del simplex pueden ser ajustados de acuerdo con las características de la superficie analizada, haciendo la búsqueda por el óptimo aún más eficiente. Sin embargo, el tratamiento matemático necesario para su desarrollo se vuelve más complejo, involucrando el ajuste de ecuaciones polinomiales, además, siendo necesario realizar un experimento más a cada movimiento del simplex.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

·         El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.

·         Todas las restricciones son de igualdad.

·         Todas las variables son no negativas.

·         Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Cambio del tipo de optimización.

Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).

Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "=", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "=", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

Conversión de signo de los términos independientes (las constantes a la derecha de las restricciones)

Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los términos independientes sean menores que 0.

Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos aplicar el método Simplex a nuestro modelo.

Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=", "="), quedando ("=","=") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("=","="), y los "=" coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.

Todas las restricciones son de igualdad.

Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "=", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la restricción si = 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en las inecuaciones.

Surge ahora un problema, veamos como queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad "=" :

a11·x1 + a12·x2 = b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1. No cumpliría la condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de la siguiente manera:

a11·x1 + a12·x2 = b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1 ·xr = b1

Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya inecuaciones con desigualdad ("=","="). Esto nos llevará obligadamente a realizar el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante.

Del mismo modo, si la inecuación tiene una desigualdad del tipo "=", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de holgura si, con la restricción si "=" 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las inecuaciones.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad	Tipo de variable que aparece
=	- exceso + artificial
=	+ artificial
=	+ holgura

Desarrollando el método Simplex

                                                                                                     

Una vez que hemos estandarizado nuestro modelo, puede ocurrir que necesitemos aplicar el método Simplex o el método de las Dos Fases. Véase en la figura como debemos actuar para llegar a la solución de nuestro problema.

 Explicaremos paso a paso los puntos de cada método, concretando los aspectos que hay que tener en cuenta.

·         1. Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo. Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.

 Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla.

Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarán las variables de holgura.

·         2. Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema.

·         3. Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el que nos de la variable entrante.

·         4. Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea estrictamente positivo (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos determinará el elemento pivote.

·         5. Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos formas diferentes:

·         Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote.

·         Para el resto de elementos de filas se calculará:Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).

Interpretación gráfica del Método Simplex

La resolución de problemas lineales con sólo dos o tres variables de decisión se puede ilustrar gráficamente, mostrándose como una ayuda visual para comprender muchos de los conceptos y términos que se utilizan y formalizan con métodos de solución más sofisticados, como por ejemplo el Método Simplex, necesarios para la resolución de problemas con varias variables. Para ello se puede usar el método Gráfico.

Aunque en la realidad rara vez surgen problemas con sólo dos o tres variables de decisión, es sin embargo muy útil esta metodología de solución e interpretación, en la que se verán las situaciones típicas que se pueden dar, como son la existencia de una solución óptima única, de soluciones óptimas alternativas, la no existencia de solución y la no acotación. Describimos aquí las fases del procedimiento de solución del Método Gráfico:

·         Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada variable de decisión esté representada por un eje, con la escala de medida adecuada a su variable asociada.

·         Dibujar en el sistema de coordenadas las restricciones del problema (incluyendo las de no negatividad). Para ello, observamos que si una restricción es una inecuación, define una región que será el semiplano limitado por la línea recta que se tiene al considerar la restricción como una igualdad. Si la restricción fuera una ecuación, la región que define se dibuja como una línea recta. La intersección de todas las regiones determina la región factible o espacio de soluciones (que es un conjunto convexo). Si esta región es no vacía, ir a la fase siguiente. En otro caso, no existe solución que satisfaga (simultáneamente) todas las restricciones y el problema no tiene solución, denominándose infactible o no factible.

·         Determinar los puntos extremos (puntos que no están situados en segmentos de línea que unen otros dos puntos del conjunto convexo) de la región factible (que, como probaremos en la siguiente sección, son los candidatos a solución óptima). Evaluar la función objetivo en estos puntos y aquél o aquellos que maximicen (o minimicen) el objetivo, corresponden a las soluciones óptimas del problema.